Ana səhifə

Mehmet Kurt1, Arif Gürsoy1, Hakan Kutucu


Yüklə 92.29 Kb.
tarix12.05.2016
ölçüsü92.29 Kb.
Bir Telekomünikasyon Probleminin

Matematiksel Modellenmesi Üzerine
Urfat Nuriyev1, Murat Erşen Berberler1, Mehmet Kurt1, Arif Gürsoy1, Hakan Kutucu2

1 Ege Üniversitesi, Matematik Bölümü, İzmir

2 İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Matematik Bölümü, İzmir

urfat.nuriyev@ege.edu.tr, murat.ersen.berberler@ege.edu.tr, kurt.mehmet@gmail.com, arif.gursoy@ege.edu.tr, hakankutucu@iyte.edu.tr
Özet: Söz konusu problem, telekomünikasyon sektöründe, “farklı dalga boylarını bölme ve çoklama” teknolojisi kullanan bir optik iletişim ağında, uygulanabilir en yüksek maliyet indirimini sağlamak için, tek bir kabloda hareket eden farklı dalga boylarındaki bilgi akışının en uygun biçimde paketlenmesini araştıran bir optimizasyon problemidir. Bu çalışmada, literatürde “Bandpass problemi” olarak isimlendirilen problemin matematiksel modellemesi yapılmıştır. Problemin özel örnekleri geliştirilmiş, bu örneklerin paylaşıldığı internet kütüphanesi hazırlanmıştır.
Anahtar Sözcükler: Bandpass Problem, Kombinatorik Optimalleştirme, NPtam Sınıf, Heuristik Algoritma, Bandpass Problemi İnternet Kütüphanesi
Abstract: The problem is used to provide the optimal reduction of cost and is applicable in the telecommunication field. It is an optimization problem that seeks to find the most convenient way of packaging information flow in different wavelengths that move in one cable. The problem occurs in a communication network that uses “multiplexing and division of different wavelength” technology. In this study, the mathematical modelling of the problem called “Bandpass problem” is done. Specific examples of the problem are developed for researchers who could study on it, and an online library, where such examples may be shared, is created.


  1. Giriş

Günümüzde, büyük veya küçük ölçekli şirketler varlıklarını sürdürebilmek adına, ya da iş veya özel hayatlarında bireyler yaşam kalitelerini artırabilmek için popüler bir kavrama hak ettiği önemi vermektedirler: Verimlilik… Üretimlerini daha kârlı hale getirmek için ham madde işleme ile lojistik giderlerinde veya iş gücünde tasarruf etmek isteyen şirketler bir yana, bu şirketlerde görev yapan ve ulaşım, gıda vb. ihtiyaçlarının masraflarını en aza indirmek isteyen bir çalışan da aslında aynı kavramın etrafında dolaş-maktadır. “Verimsiz yapıları verimli bir biçime getirme” probleminin kesin bir çözümü, üzerinde çalışılan örneğin yapısı doğrultusunda bazen hesabı zor ve uzun işlemler gerektiren bir planlamaya ihtiyaç duymaktadır. Fakat elde edilecek kazanç, özellikle şirketleri, bu zor süreç için araştırma yapmaya sevk etmektedir. İşte matematikte Optimizasyon Problemleri başlığı altında sunulan alan, yukarıda bahsedilen zorlu süreçleri araştırmak için ortaya çıkmıştır. Optimizasyon Problem-lerinin önemli bir araştırma sahası telekomü-nikasyon veya daha özel olarak belirtmek gerekirse, veri iletimi sorunudur. Bir nok-tadan bir başka noktaya iletilen verilerin en az maliyetle ve en hızlı bir biçimde iletilmesi hem şirketler hem de son kullanıcılar açısından oldukça önemlidir. Gelişen teknoloji, araştırılan amaçlarda yeni boyutlar açılmasına neden olmaktadır. Çalışmanın ana konusunu teşkil eden Bandpass (Band-geçişi) Problemi, alışıl-mışın dışında, son teknolojik imkânlara da paralel olarak, verinin hangi yoldan gideceği ile değil nasıl gönderileceği ile ilgilenmektedir. Bu çalışmada, Bandpass probleminin tarihçesine değinilmiş, mate-matiksel modeli incelenmiştir. Modelin çözümü ile ilgili çalışmak isteyen araştırmacılar için özel problem örnekleri hazırlanmış, bu örnekler konu ile ilgilenen araştırmacıların hesaplamalarında karşılaş-tırma yapabilmeleri amacıyla online bir kütüphanede yayımlanmıştır.




  1. Bandpass Problemi


2.1. Bandpass Probleminin Ortaya Çıkış Süreci

Internet, digital tv yayınları ve gsm şebekelerinin kullanımının artması, iletilen verilerin büyüklüğü (ses, görüntü, vb.), üreticileri iletişimin hızı ve kalitesi adına yeni araştırmalara sevk etmektedir. Artan veri trafiğini karşılamak adına kullanılan kabloların “fiber optik” kablolara dönüşmesi önemli bir adım olarak görülmektedir. (Ramaswami and Sivarajan, 1998) Bu kablolarda, özellikle geniş alan ağlarında iletişimin kapasitesini artırmak için WDM tekniği kullanılmaktadır. (Jourdan et al., 1998) Dalgaboyu bölmeli çoğullama (WDM–Wavelenght Division Multiplexing) ile tek bir fiber lif yüzlerce ayrı iletişim kanalına (dalgaboyuna) bölünebilir. Böylece fiber hat üzerinden taşınan veri miktarı katlanarak artırılmıştır (Yang and Wang, 2004; Nosu and O’Mahony, 1994)

Kanalların (dalgaboyları) sayısı çok olduğunda ve dalga genişliği çok yakın olduğunda örneğin 0.1-0.2 nm gibi, buna Yoğun Dalgaboyu Bölmeli Çoğullama DWDM (Dense Wavelength Division Multiplexing) denir. DWDM ile her biri 10 Gb/s hızında bilgi taşıyan 128 değişik dalgaboyunda ışık, aynı fiber optik kablo içinden taşınabilmektedir. Bu yolla da terabit hızlarında iletim elde edilmektedir. (Cheung et al., 1990)
Son yıllarda Çok Yüksek Yoğunluklu Dalga Boyu Bölmeli Çoklama (UDWDM) kavramı karşımıza çıkmaktadır. Bu yolla tek bir fiber lif binlerce kanala bölünebilecek ve her kanal 20-40 Gb/s kapasitesinde bilgiyi iletebilecektir. Bir DWDM sisteminin en önemli yapıtaş-larından biri ADM (Add/Drop Multi-plexer)’dir. ADM’ler adından da anlaşılacağı gibi dalga boylarının eklen-mesi/çıkarılması işini yapar. ADM’lere ağa dalga boyu eklemek veya sonlandırıcı noktalarda dalga boyu çıkarmak için ihtiyaç duyulur. Bir ADM’de giriş portu, add/drop portu ve çıkış portu olmak üzere üç adet port vardır (Kaminov et al., 1996; Goralski, 1997). Şekil 2.1.2’de Optik ADM’nin bir DWDM ağındaki konumu görülmektedir.


Şekil 2.1.2 DWDM ağında OADM
DWDM’nin ortaya çıkmasıyla ilk etkilenen alan uzun mesafe iletimi olmuştur. Şimdi yapılması gereken uzun mesafelere çok iyi uyum sağlayan bu sistemlerin kısa mesafelerde nasıl etkin bir şekilde kullanılabileceğini bulmaya gelmiştir. Ancak mevcut DWDM sis-temlerinin şehir ağları (Metropolitan Area Network - MAN) için uygun olması birkaç açıdan olası gözükmemektedir: Uzun mesafelerde trafik fazlaca add/drop gereksinimi olmadan akar ancak MAN’da buna sık sık gereksinim duyulur. Bazı üreticiler DWDM sistemlerinin MAN’da daha ucuz hale nasıl getirilebileceğini araştırmaktadır.

Bizim çalışmamızda DWDM sis-temlerinde önemli bir yeri olan ADM cihazlarının kullanımını en aza indirgen-mesi ön görülmektedir. Bu da MAN’larda DWDM sistemlerinin ucuz bir şekilde kullanılabilmesini sağlayacaktır.


DWDM teknolojisini kullanan modern optik kablo m(yüzlerce olabilir) farklı dalgaboyunda kodlanmış bilgiyi taşıyabilir. Bilgiyi taşıyan bu dalgaboyları olarak temsil edile-bilirler. İki sınırdaş dalga boyu ardışık olarak düşünülebilir. ADM’lerin görevi bazı dalga boylarında gerçekleşen iletişimi ağda sonlandırmak ya da ağa sunmaktır. Optik ağda bir dalga boyunda gerçekleşen iletişim ADM’lere ulaştığında eğer hedef noktası ise ADM tarafından eklenip/ çıkartılır (add/drop) değilse ADM’den geçer. Kısaca ADM ler bir çeşit yönlendirme cihazları gibi davranır. Fiber optik ağdaki her dalgaboyu için ADM’lerde özel bir kart bulunur. Yani ağdaki n adet dalgaboyu bir Optik ADM’den add/drop edilecekse o Optik ADM’de n adet kart gerekmektedir. Farklı dalgaboylarında devam eden akışlar çoğu kez aynı ADM’den geçmelidirler. Eğer bu dalga boyları ard arda ise
( gibi) o zaman bandpass dediğimiz gruplara aynı ADM’lerden geçen bu dalga boylarını paketleme imkanı vardır. Bu durumda her kart “B” (Bandpass numarası) adet akışın sayısını tebliğ eder. Bu her dalgaboyu için bir tane kullanılan kartlardan bir kaçının (B adedinin) bir adediyle değiştirilmesine izin verir. Her biri tek bir dalgaboyuna ilişkili olan birkaç kartı bu dalga boylarından sadece biri hakkındaki bilgiyi ve B numarasını taşıyan bir kart ile değiştirmek toplam kart sayısı azaltır ve toplam kart maliyetinin indirilmesine önderlik eder.

Problemi daha iyi tanıtabilmek için, söz gelimi Şekil 2.1.3’teki gibi bir X merkezinden bir Z merkezine giden bir hat ile bu hat üzerinde yer alan Y merkezini modelleyelim.




Şekil 2.1.3: X merkezi ile Z merkezi arasında bir hat
Y merkezinin, X’ten ayrılan kablo üzerinde bulunan kırmızı, lavicert, mavi ve turuncu olmak üzere 4 farklı dalgaboyunu talep ettiğini varsayalım. Şekil 2.1.3’te görebileceğiniz gibi kırmızı, lacivert ve mavi ardışık dalgaboylarıdır. Buna karşın turuncu bu ardışıklık içinde değildir. 4 dalgaboyu talep eden Y merkezinin B=4 sayısını taşıyan tek bir kart ile bu dalgaboylarının tamamını alamamaktadır. Çünkü talep ettiği dalgaboylarının tamamı ardışık değildir. Bu durumda 4 tane kart kullanmalıdır. Eğer Cam Göbeği rengindeki dalgaboyu ile Y merkezinin talep ettiği turuncu renk yer değiştirirse, bu durumda Y merkezinin talep ettiği 4 dalgaboyunun da ardışık olması nedeniyle ilgili dalgaboylarını çekmek için tek bir kart yeterli olacak ve maliyet dörtte üç oranında azalacaktır.


    1. Bandpass Probleminin

Literatürdeki Yeri

Bandpass Problemi ve ilk matema-tiksel modeli D. A. Babayev ve G. I. Bell tarafından 2004 yılında sunulmuştur. Takip eden süreçte problemin çözümüne ilişkin çeşitli algoritmalar geliştirilmiş ve problemin karmaşıklık sınıfına dair yayımlar sunulmuştur. (Babayev, et al., 2007;2009; Nuriyev et al., 2007) Problemin sınıfına dair ilk araştırmada Bandpass Problemi, Tatmin Edilebilirlik problemine indirgenmiştir. (Babayev et al., 2007; 2009)

Geliştirilen algoritmaların çeşitli ihtimaller değerlendirilerek test edilebilmesi, karşı-laştırılabilmesi amacıyla problem örnekleri geliştirilmiştir. Problemin yeni olması, araştırmacıların çalışmalarını kıyaslaya-bilmeleri ve problemle ilgili olan araştırmacıların iletişim kurabilmeleri gibi amaçlarla problem örnekleri Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Web Sitesi bünyesinde BandPass Problem Library adıyla internet kütüphanesi açılmıştır. (Babayev et al. 2007) Kanada Alberta Üniversitesi’nden Guohuo Lin, Hollanda Katholieke Üniversitesi’nden Mustafa Mısır, Ortadoğu Teknik Üniversitesi’nden Göktürk Üçoluk çeşitli zamanlarda problemin karmaşıklık analizi ile çözüm algoritmalarına dair araştırmalar yapmışlardır. Son olarak Nuriyev, Kutucu ve Kurt tarafından hazırlanan “Mathematical Models of the Bandpass Problem and OrderMatic Computer Game” makalesi Elsevier Mathematical and Computer Modelling dergisinde yayım-lanması kabul edilmiştir. (Nuriyev et al, 2010)
2.3. Bandpass Probleminin Tanımı
2.3.1. Bandpass Probleminin Matris ile Gösterilmesi

Bir iletişim ağında adet farklı hedefe gönderilmek üzere adet pakete sahip bir kaynak olduğunu düşünelim. Bu durum matrisi ile ifade edilir. Eğer paketi noktasına gönderilecekse aksi halde dir. Şekil 2.3.1.1. de bu matrisin oluşturulmasına bir örnek verilmiştir.



Şekil 2.3.1.1. Bandpass Matrisinin Oluşturulması
Girdileri 0 ve 1 olan mxn boyutunda bir matrisinde aynı sütünda “B” adet sıfırdan farklı elemanların ard arda gelmesi bir bandpass oluşturur. Bir sütunun sıfırdan farklı olan her bir elemanı sadece bir bandpass’te yer alabilir. Bu tanım bize aynı sütunda birden fazla bandpass’in aynı elemanı yani aynı satırı içeremeyeceğini ifade etmektedir.




2.3.2. Bandpass Problemi Örneği

Tablo 2.3.2.1. deki matrisinde 3 ve 5. sütunlar herhangi bir bandpass içermemektedir. Çünkü B=5 adet ar darda sıfırdan farklı eleman içermemektedir. 2. sütun ise 2. satırdan 8 satıra kadar ard arda gelen 7 adet sıfırdan farklı elemana sahiptir. Bu sütundaki 2. satırdan 6. satıra kadar veya 3. satırdan 7. satıra kadar veya 4. satırdan 8. satıra kadar olan elemanlar birer bandpass oluştururlar.




j

i

1

2

3

4

5

1

1

0

1

1

1

2

1

1

1

0

1

3

1

1

0

0

0

4

1

1

1

0

1

5

1

1

1

1

1

6

1

1

0

1

1

7

1

1

1

1

0

8

1

1

0

0

1

9

1

0

1

1

1

10

1

0

1

1

0

11

1

0

0

1

0

Tablo 2.3.2.1. Bandpass Örneği; Matrisi ,
Fakat sadece bu üç gruptan biri bu sütün için bir bandpass olarak seçilebilir. Çünkü yukarıdaki bandpass tanımının da izin vermediği üzere bu gruplardan herhangi ikisi sıfırdan farklı ortak elemanlar içermektedir. Şekil 2.3.2.1. de bu bandpassların nasıl kesiştikleri görülmektedir.


Şekil 2.3.2.1. Kesişen Bandpasslar
Birden fazla bandpass olması için; bir sütunda ard arda gelen sıfırdan farklı eleman içeren grupların birbirleri ile çakışmaması gerekmektedir. Her grup en az B tane elemandan oluşmalıdır. Örneğin 1. sütunda 2 adet bandpass bulunmaktadır. Bunlar aşağıdaki satır gruplarından oluşan üç çiftin her biri: {1 - 5 ve 6 - 10}, {1 - 5 ve 7 - 11}, {2 - 6 ve 7 – 11}. Görüldüğü gibi bu 3 çiftin her birinde 5 elemandan oluşan iki grup aynı satırları içermemektedir. Şekil 2.3.2.2. de kesişmeyen bandpass grupları görülmektedir.


Şekil 3.3.2.2. Kesişmeyen Bandpassler
, sütunundaki bandpass sayısının üst sınırı olsun. Öyleyse

=’dir.

Eğer matrisin bir sütunu bandpass içermiyorsa ama o sütundaki sıfır olmayan elemanların toplamı B’den az değilse matrisin satırları yeniden düzenlenerek bir bandpass elde edilebilir. Satırların yeniden düzenlenmesinden kasıt satırların birbirleri ile yer değiştirebilmesidir. Sadece satırlar yer değiştirebilir. Sütunların değerleri korunmalıdır. Örneğin; matrisindeki 5. sütunda bir bandpass yoktur ama 9. satır ile 7. satır ya da 9. satır ile 3. satır yer değiştirir ise bu sütunda bir bandpass oluşur. Şekil 2.3.2.3. de bu değişim görülmektedir. Bu sütunda bandpass oluşturmak için başka yer değiştirmeler de mümkündür.


2.4. Bandpass Probleminin Kesin Çözümü için Gereken Zaman Analizi

Bu problemde amaç, herhangi bir matrisinin tüm sütunlarında, ardışık olarak yerleşmesi gereken 1’lerin sayısını ifade eden B bandpass numarası (uzunluğu) için toplam bandpasss sayısını maksimum yapan satırların dizilimini bulmaktır. (Babayev and Bell, 2004).





Şekil 2.3.2.3. Satırların Yer Değişimi
Burada klasik bir yöntem tüm satırların permütasyonlarını denemektir. Fakat bu yöntem polinom zamanda çözümü imkansız kılmaktadır. Çünkü böyle bir algoritmanın çalışma zamanı O(m!) dir ve bunun çalışma zamanı Tablo 2.4.1.’de görünmektedir.



g(m)

M

10

30

100

m2

10-7 saniye

10-6 saniye

10-5 saniye

m3

10-6 saniye

10-5 saniye

10-3 saniye

m!

0,04 saniye

8,4x1015 yıl

3x10141 yıl

Tablo 2.4.1. Farklı Zaman Karmaşıklığına Sahip Algoritmaların Çalışma Süreleri
2.5. Bandpass Probleminin Matematiksel Modeli

Bu model Babayev, Bell ve Nuriyev tarafından sunulmuştur.





i=1,…, m, j=1,…, n, k=1,…,m



olmak üzere,



Amaç Fonksiyonu :
(2.5.1.)

Burada bandpassların başlangıç satırlarının koordinatlarını ifade eder ve amaç ’lerin toplamının maksimum yapılmasıdır.


Kısıtlar:

=1, i=1, …, m (2.5.2.)

(2.5.1.2) kısıtı bir satırın sadece bir satırla yer değiştirmesini garantiler. Buradaki kısıt sayısı m adettir.



=1, k=1, …, m (2.5.3.)

(2.5.1.3) kısıtı bir satıra diğer satırlardan sadece birinin yerleşmesini garantiler. Buradaki kısıt sayısı da m adettir.



(2.5.4.)

(2.5.1.4) kısıtı iki bandpass’ın birbirleri ile çakışmamasını garantiler. Buradaki kısıt sayısı n(m-B+1) adettir.



,

j=1,…,n, 1km-B + (2.5.1.5)

(2.5.1.5) kısıtı badpassların koordinatlarını belirler. Buradaki kısıt sayısı n(m-B+1) adettir. Bu modelde toplam adet kısıt mevcuttur.




  1. Bandpass Probleminin İnternet Kütüphanesi


3.1. İnternet Kütüphane Sayfası
Bandpass problemi gerek yeni bir problem olması gerekse geliştirmeye açık yönleri olması nedeniyle bir çok araştırmacının ilgisini çekmektedir. Tabii olarak en iyiyi bulma arzusundaki araştırmacıların kendi çalışmalarını mevcut yöntemlere göre değerlendirebilmesi de gerekmektedir. Bu bakımdan konuyla ilgilenen tüm araştırmacıların aynı örnek problemler üzerinde denemelerde bulunması oldukça faydalı olacaktır. Çevrimiçi Bandpass Kütüphanesi, problem ile ilgilenen bilim adamlarının çalışmalarını test ederek gerektiğinde diğer bilim adamlarıyla iletişim kurması ve problem ile ilgili gelişmelerin ilgililere duyurulması amacıyla Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü internet sitesi bünyesinde kurulmuştur. Kütüphaneye http://sci.ege.edu.tr/~math/BandpassProblemsLibrary/ adresinden erişilebilmektedir. Kütüphanenin yayın dili İngilizcedir. Giriş sayfası ekran görüntüsü aşağıdaki gibidir.


Resim 3.1.1. : Kütüphane giriş sayfası

Giriş sayfasında sitede yer alan bölümlerle ilgili bilgiler verilmektedir. Kütüphane beş bağlantıdan oluşmaktadır: Bandpass Problem, Problems & Solutions, People, References, Contact Us. Giriş sayfasına, sonradan, alt bağlantıların üzerindeki mavi zeminde yer alan Bandpass Problem Library bölümüne tıklayarak erişilmektedir. “BandPass Problem” bağlantısıyla ulaşılabilmektedir, Bandpass problemi tanıtılmakta ve matematiksel modellemesi verilmektedir. Ayrıca ziyaret-çiler bu bölümü Ms Word dosyası olarak da bilgisayarlarına kopyalayabilmektedirler.




Resim 3.1.2. : Bandpass Problem
“Problems & Solutions” bağlantısı ise iki alt bölümden oluşmaktadır: “Best Known” ve “Optimal”.


Resim 3.1.3. : Optimal ve Best Known Bağlantıları

“Optimal” bağlantısından kesin çözümleri bilinen problem örnekleri; “Best Known” bağlantısından ise “en iyi çözümü” bilinen problem örnekleri ziyaretçiler tarafından temin edilebilmektedir. Bu bağlantılara tıklandığında Resim 3.1.4 te görülen sayfalara erişilmektedir.




Resim 3.1.4. : Optimal ve Best Known Sayfaları Ekran Görüntüleri
Bu bağlantılara erişildiğinde satır sayısı, sütun sayısı, Bandpass genişliği, matristeki 1 değeri oranı, bilinen kesin (optimal bağlantısı için) veya en iyi (best known için) çözümünün bir tablo ile listelenen problem örnekleri görülmektedir. Ziyaret-çiler kopyalamak istedikleri problem örneğinin satırındaki “Excel” bağlantısına tıklayarak ilgili dosyayı bilgisayarlarına kopyalaya-bilmektedirler. Ayrıca her bir satırda “Application” sütununda o satıra ait Excel dosyasının kaç defa kopyalandığı tutulmaktadır. “People” bağlantısında prob-lemle ilgilenen bilim adamlarına yer veril-miştir. “References” bağlantısında Band-pass Problemini konu alan ve bilimsel dergilerde yayımlanan makalelere yer verilmiştir. “Contact Us” bağlantı-sında ise gerek problemle ve sitedeki matematiksel dokümanlarla ilgili görüşlerin iletilmesi için gerekse çevrimiçi kütüphanedeki sayfa sorunlarının iletilmesi için gerekli e-posta adresleri duyurulmuştur.



Resim 3.1.5.: People Ekran Görüntüsü

3.2.KütüphaneProblem Örnekleri

Bandpass Problem Çevrimiçi Kütüphanesinde problem örnekleri Ms Excel dosyası formatında yer almaktadır. “Best Known” ve “Optimal” başlıkları altında 45’er tane farklı problem örneği paylaşılmıştır. “Optimal” bağlantısındaki problem örneklerinde verilen toplam Bandpass sayıları ulaşılması hedeflenen kesin çözümlerdir. Bu problem örnekleri belirlediğimiz satır sayısı, sütun sayısı, bandpass numarası ve matristeki 1’lerin yoğunluk oranı girdileri doğrultusunda hazırlanmıştır. Pascal dilinde yazılan bir program ile istenen şartlarda her bir sütunda en çok bandpass oluşturulacak biçimde bir matris oluşturulmuş ve oluşturulan bu matris rastgele sırada sıralanarak (optimal hali bozularak) problem örnekleri üretilmiştir. “Best Known” bağlantısında verilen problem örnekleri ise yine verilen satır sayısı, sütun sayısı, bandpass numarası ve 1’lerin yoğunluk oranı doğrultusunda optimal sonucu verecek biçimde değil, rastgele oluşturulmuştur. Optimal sonuçları bilinmemektedir. Araştırmacıların bu matrislerle ilgili yolladığı çözüm matrisleri neticesinde bu dosyalar yenilenebilmek-tedir. Resim 3.2.1 ‘de de görüldüğü gibi, OS (Optimal Solution) problem örneği Ms Excel dosyası açıldığında, sol kısımda satır ve sütun numaraları sarı renk ile renklendirilmiş kaynak örnek yer almaktadır. Bu matrisin hemen üzerinde ilgili matrisin satır sayısı, sütun sayısı, bandpass numarası ve matristeki 1’lerin oranı yer almaktadır. Ekranın sağ kısmında satır ve sütun numaraları turkuaz renk ile renklendirilmiş matris ise optimal çözümün bulunduğu satır dizilimi yer almaktadır. Hemen üzerinde de bu optimal çözüm yazılmıştır. Ayrıca matris üzerinde mavi çerçeve ile oluşan bandpasslar gösterilmiştir. Resim 3.2.2 ‘de de görüldüğü gibi, BKS (Best Known Solution) problem örneği Ms Excel dosyası açıldığında, sol kısımda satır ve sütun numaraları sarı renk ile renklendirilmiş kaynak örnek yer almaktadır. Bu matrisin hemen üzerinde ilgili matrisin satır sayısı, sütun sayısı, bandpass numarası ve matristeki 1’lerin oranı yer almaktadır. Ekranın sağ kısmında satır ve sütun numaraları turkuaz renk ile renklendirilmiş matris ise bilinen en iyi çözümün bulunduğu satır dizilimi yer almaktadır. Hemen üzerinde de bu bilinen en iyi çözüm yazılmıştır. Ayrıca matris üzerinde mavi çerçeve ile oluşan bandpasslar gösterilmiştir.





Resim 3.2.1.: Optimal Matris Problem Örneği Ekran Görüntüsü


Resim 3.2.2.: Best Known Matris Problem Örneği Ekran Görüntüsü

  1. Sonuç

Bu çalışmada, iletişim ağlarının daha verimli bir biçimde hizmet vermesi amacıyla geliştirilen DWDM tekniği ele alınmıştır. Verilerin iletilmesi süreci matematiksel olarak modellenmiştir. İlgili matematiksel model problemin özel örnekleri oluşturulmuş ve internet kütüphanesinde yayımlanmıştır. Önümü-zdeki süreçte problemin yeni örneklerinin oluşturulması ve genetik yöntemlerle çözüm algoritmasının geliştirilmesi hedeflenmektedir.

Kaynaklar

[1] Babayev, D. A., Bell, G. I. and Nuriyev, U. G., 2009, The Bandpass Problem, Combinotarila Optimization and Library of Problems, J Comb Optim Vol 18, 151-172p.
[2] Babayev, D. A., Bell, G. I., Nuriyev, U. G., Kurt, M., Berberler, M.E. and Gürsoy, A., 2007, Library of Bandpass Problems. http://sci.ege.edu.tr/ ~math/BandpassProblemsLibrary/ (Son erişim Tarihi: 21.12.2010)

[3] Cheung, N. K., Nosu, G. and Winzer, G., 1990, Special Issue on Dense WDM Networks, IEEE JSAC, Vol 8, August.

[4] Goralski, W. J., 1997, A Guide to Synchronous Optical Networks, Series on Computer Communications, McGrow-Hill, New York, 484p.

[5] Jourdan, A., Bakhti, F., Bruyere, F., Chbat, M. W., Chiaroni, D., Drion, C., Eilenberger, G. J., Garnot, M., Masetti, F., Perrier, P.A . and Renaud, M., 1998, Key Building Blocks for High-Capacity WDM Photonic Transport Networks, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, Vol 16, No 7, September, 1286-1297p.

[6] Kaminov, I. P., Doerr, C. R. and Dragone, C., 1996, A Wideband All Optical WDM Network, IEEE JSAC/JLT 14(5):780–799p.

[7] Lin, G. H., 2009, On the Bandpass Problem. Journal of Combinatorial Optimization, Acceptedand published on-line first, Doi: 10.1007/s10878-009-9273-2

[8] Lin, G.H. and Li, Z., 2010, The Three Column Bandpass Problem is Solvable in Linear Time, Theoretical Computer Science, Acceptedand published on-line first. Doi: 10.1016/j.tcs.2010.09.018

[9] Nuriyev, U. G., Kutucu, H. and Kurt, M., 2010, Mathematical Models of the Bandpass Problem and OrderMatic Computer Game, Mathematical and Computer Modelling, Doi: 10. 1016/ j.mcm. 2010.12.014

[10] Ramaswami, R. and Sivarajan, K. I., 1998, Optical Networks, A Practical Perspective, Morgan Kaufman, San Francisco, 632p.

[11] Yang, Y. and Wang J., 2004, Designing WDM Optical Interconnects with Full Connectivity by Using Limited Wavelength Conversion, IEEE Transactions on Computers, Vol 53, No 12, December


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©anasahife.org 2016
rəhbərliyinə müraciət