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73,87237993 Segunda parte. Primera versión


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Los dos planos se cortan en una línea (JL). Uniremos proyección de radios en plano horizontal con línea mencionada, mediante rectas perpendiculares. (Durante mucho tiempo tomaba un punto común para luego trabajar con mediana de rectángulo, ese fue mi error continuo hasta que cambié de estrategia)


Las distancias entre radios son (3,4 y 5) que hay que pasar a proyección en horizontal por Pitágoras (R+r) hipotenusa y (R-r) cateto nos dan√(4Rr), es decir √8, √12, √24 respectivamente que son los valores de los lados del triángulo que vemos en la figura.
A continuación por Tales, sabemos que distancias de esos puntos a rectas son (a, 2 a, 3 a) respectivamente.
Pitágoras
JL = √ (24 - a²)

JK = √ (12 - 4a²)

KL = √ (8 - a²)
Igualamos
√ (24 - a²) = √ (12 - 4a²) + √ (8 - a²)
Elevamos cuadrados
(24 - a²) = (12 - 4a²) + (8 - a²) + 2 * √ [ (12 - 4a²) * (8 - a²)]
4 + 4 a² = 2 * √ [ (12 - 4a²) * (8 - a²)]
Volvemos a elevar cuadrados, después de dividir cada término entre 2
4 + 4 a^4 + 8 a² = 96 – 12 a² - 32 a² + 4 a^4

1 + 2 a² = 24 -11 a² --------------- 13 a² = 23 ---------- a = √ (23/13)

Tomamos la esfera de radio 1 (cateto vertical) y distancia a (cateto horizontal)
Tag (α ) = 1/ √ (23/13) = 36,93618997 grados
Que multiplicado por 2 (igualdad de ángulos por semejanzas) = 73,87237993


Segunda parte. Primera versión


En la recta inferior (corte de planos) se sitúan los tres puntos que nos interesan (A,L,F), de ahí parten perpendiculares hasta centros de esferas (B valor 1) (E valor 2) y (G valor “r”).


Los puntos B,E y G están representados tal como se verían desde arriba.
Sabemos que la distancia real BE es (1+2 = 3), pero vista en la proyección actual su valor es (raíz de 8), por Pitágoras.

En realidad la hipotenusa es igual a la suma de los radios, y el cateto vertical la diferencia de radios, que nos da siempre el mismo patrón es decir la proyección vale √4Rr. De este modo lado BE equivale a √8, el lado BG será √4r, y el lado EG vale √8r.


Si BE es √8 y la diferencia entre EF y BA equivale a “a” que sabemos su valor que es √(23/13, nos encontramos que el segmento AF vale 9/√13.
Del mismo modo sabemos que ese segmento AF es la suma de AL (JG) y LF (GK).
Vamos con el segmento JG, del que sabemos que BJ equivale (a-t) =

√(23/13 - t , y el BG es √4r ; con lo cual podemos hacer Pitágoras


A su vez el GK , se puede calcular de (2 a – t) por un lado, y √8r por el otro.
Una vez que tengamos los dos sumandos, los igualamos a 9/√13.
Además hay que tener en cuenta que t sabemos que vale igual al radio por √(23/13 (resultado obtenido de antes)
De este modo, al igualar lo anterior nos queda finalmente una ecuación complejilla, y que la he vuelto a repasar pero no me da el valor exacto que al parecer tiene que salir.
Obtengo como valores del radio 0,548463 y una distancia a recta de corte entre planos de 0,729525.
Aunque el planteamiento es correcto, me equivoqué al operar dos veces, y como soy perezoso desisto de un tercer intento.
Segunda parte. Segunda versión
Como tengo todos los ingredientes preparados, recurro a la vía que menos me gusta pero que, en mi caso, me resulta la más asequible. Ecuaciones de círculos y rectas que preparadas de este modo me llevan por un mejor camino.

x² + (y-a) ² = 4r

(x- √81/13) ² + (y-2a) ² = 8r
Aunque se ven muchas incógnitas, en realidad una de ellas (a) es el valor de la raíz, para intercambiarlo al final. Por otro lado el valor de “y” está directamente relacionado con el radio
y = ar

a = √23/13


De este modo obtenemos el valor del radio.
r = 24/41


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